De Paradox Van Het Oneindige Hotel

Het Oneindige Hotel, een gedachte-experiment van de Duitse wiskundige David Hilbert, is een hotel met een oneindig aantal kamers. Makkelijk te begrijpen, toch? Fout. Wat gebeurt er als het hotel helemaal volgeboekt is maar een persoon wil inchecken? En wat als er 40 mensen willen inchecken? Of een oneindig volle bus met mensen? Jeff Dekofsky lost deze schijnbaar onmogelijke vraagstukken op met behulp van Hilberts paradox.

Bekijk hier de volledige les

Tijdens de jaren twintig bedacht de Duitse wiskundige David Hilbert een beroemd gedachte-experiment om ons te laten zien hoe moeilijk het is om grip te krijgen op het concept van oneindigheid.

Stel je een hotel voor met een oneindig aantal kamers en een hardwerkende nachtportier. Op een nacht is het Oneindige Hotel helemaal vol, geheel volgeboekt door een oneindig aantal gasten. Een man loopt het hotel in en vraagt naar een kamer. In plaats van de man weg te sturen, besluit de nachtportier plek voor hem te maken. Hoe? Makkelijk.

Hij vraagt de gast in kamer 1 te verhuizen naar kamer 2, de gast in kamer 2 te verhuizen naar kamer 3, enzovoort. Elke gast verhuist van kamer 'n' naar kamer 'n+1'. Aangezien er een oneindig aantal kamers is, is er een nieuwe kamer voor elke bestaande gast.

Zo is er in kamer 1 ruimte voor de nieuwe gast. Dit proces kan herhaald worden voor elk eindig aantal nieuwe gasten. Stel dat een tourbus aan komt rijden met 40 nieuwe mensen die een kamer zoeken, dan kan elke bestaande gast van kamer 'n' naar kamer 'n+40' verhuizen. waardoor de eerste 40 kamers vrij worden gemaakt.

Maar nu komt een oneindig grote bus aan met een aftelbaar oneindig aantal passagiers die kamers willen huren. 'Aftelbaar oneindig' is de sleutel.

In eerste instantie staat de nachtportier perplex van het oneindige aantal passagiers, maar hij realiseert zich dat er een manier is elke gast een kamer te geven. Hij vraagt de gast in kamer 1 naar kamer 2 te verhuizen. Daarna vraagt hij de gast in kamer 2 naar kamer 4 te verhuizen, de gast in kamer 3 te verhuizen naar kamer 6, enzovoort.

Elke huidige gast verhuist van kamer 'n' naar kamer '2n', waardoor alleen de oneindig vele kamers met even nummers gevuld worden. Zo maakt hij de oneindig vele kamers met oneven nummers vrij, waar vervolgens de mensen in kunnen die uit de oneindige bus komen.

Iedereen is blij en het hotel heeft nog nooit zo goed zaken gedaan. Nou, eigenlijk staan de zaken er precies zo goed voor als altijd met elke nacht oneindig veel dollars aan inkomsten.

Het nieuws van dit ongelooflijke hotel verspreidt zich snel. Mensen komen vanuit alle windstreken. Op een nacht gebeurt het ondenkbare. De nachtportier kijkt naar buiten en ziet een oneindige rij van oneindig lange bussen, elk met een telbaar oneindig aantal passagier. Wat kan hij doen?

Als hij geen kamers voor ze kan vinden, zal het hotel een oneindige hoeveelheid geld mislopen, en zal hij zeker ontslagen worden. Gelukkig herinnert hij zich dat rond het jaar 300 voor Christus Euclides bewees dat er een oneindige hoeveelheid priemgetallen bestaat.

Voor deze schijnbaar onmogelijke taak om oneindig veel bedden te vinden voor oneindig veel bussen gevuld met oneindig veel vermoeide reizigers wijst de nachtportier elke huidige gast toe aan het eerste priemgetal, 2, verheven tot de macht van hun huidige kamernummer. De huidige bewoner van kamer 7 gaat dus naar kamer 2^7, namelijk kamer 128. De nachtportier wijst dan alle mensen in de eerste oneindige bus toe aan de kamer met het volgende priemgetal, 3, verheven tot de macht van hun stoelnummer in de bus. De passagier van stoelnummer 7 in de eerste bus gaat dus naar kamer 3^7 oftewel kamer 2.187.

Dat gaat zo door voor alle passagiers in de eerste bus. De passagiers in de tweede bus verheffen het volgende priemgetal, 5, tot een bepaalde macht. De volgende bus doet hetzelfde met 7. Elke bus volgt: machten van 11, machten van 13, machten 17, etc. Aangezien al deze nummers alleen 1 en de natuurlijke machten van hun priemgetalbasis als factor hebben, zijn er geen overlappende kamernummers.

Alle passagiers van alle bussen krijgen op deze manier een kamer toegewezen op basis van unieke priemgetallen. Zo kan de nachtportier elke passagier in elke bus van een kamer voorzien. Wel zullen er nu veel lege kamers zijn, zoals kamer 6 aangezien 6 geen macht van een priemgetal is. Gelukkig waren zijn bazen niet zo goed in wiskunde, dus is zijn baan veilig.

De strategieën van de nachtportier zijn alleen mogelijk omdat er in het Oneindige Hotel, hoewel het een logistieke nachtmerrie is, alleen sprake is van het laagste niveau van oneindigheid, namelijk de aftelbare oneindigheid van de natuurlijke getallen 1, 2, 3, 4, enzovoort.

Georg Cantor noemde dit niveau van oneindigheid alef-nul. Zowel de kamernummers als de stoelnummers in de bussen zijn natuurlijke getallen. Bij een hogere orde van oneindigheid, zoals die van reële getallen, zouden deze gestructureerde strategieën niet mogelijk zijn aangezien er geen manier is om op systematische wijze elk getal mee te tellen.

Het Oneindige Hotel van de Reële Getallen heeft kamers met negatieve getallen in de kelder, breukkamers, waardoor degene in kamer 1/2 altijd vermoedt dat hij minder ruimte heeft dan degene in kamer 1, vierkantswortelkamers, zoals kamer √ 2, en kamer pi, waar de gasten gratis 'pie' (taart) verwachten.

Welke nachtportier met zelfrespect zou daar ooit willen werken al is het voor een oneindig salaris? Maar in Hilberts Oneindige Hotel, waar nooit een kamer vrij is en er altijd ruimte is voor meer gasten, herinneren de perikelen van de steeds ijverige en misschien te gastvrije nachtportier ons eraan hoe moeilijk het is voor onze relatief eindige geest om grip te krijgen op een concept zo groot als oneindigheid.

Misschien kun jij dit aanpakken na een goede nachtrust. Maar misschien moet je wel om 2 uur 's nachts van kamer verhuizen.

 

Bron: TED.com